Воспоминания и мысли 1 математика

Изменено: 17.10.2015 Posted on

Академик АН СССР (с 1990- с 91 РАН), с 1986 в Мат.и. Стеклова и IX Парижском университетеПерсона В. И. Арнольда — между совр.Перельманом и его соавтором теоремы КАМ о стабильности интегрируемых гамильтоновых систем и Ленинской премии 1965 — Андреем Колмогоровым, (ниже о них и Я.Б.Зельдовиче, др.книги Арнольда, библиотека:

Владимир Игоревич Арнольд. 13.05.2006. Фото из архива фонда «Династия» Сложность конечных последовательностей нулей и единиц — Комментарии (37)

 Владимир Игоревич Арнольд,
 Публичная лекция 13.5.2006 года— попул. Доклад в М. мат. обществе  22.11.05
Валерий Анатольевич Рубаков (фото с сайта www.inr.ru) В. А. Рубаков
Темная материя и темная энергия во Вселенной
Хуан Малдасена (фото с сайта www.thirteen.org) Х. Малдасена
Черные дыры и структура пространства-времени
Виталий Лазаревич Гинзбург (фото из архива фонда Династия) В. Л. Гинзбург
«Физический минимум» на начало XXI века

В. И. Арнольд. Истории давние и недавние. — М., ФАЗИС, 2002. 96 с.- Простые и яркие изложения собственных воспоминаний и событий многовековой давности … умение и страсть «рыться» в лучших библиотеках мира. В 2005 году ФАЗИС выпустил второе, расширенное до 192 страниц, издание «Историй», из первого — полностью у E.G.A. — приводим только главное — СОДЕРЖАНИЕ
ПредисловиеПервые воспоминания4Северо-западное направление5Вера Степановна Арнольд (Житкова) 6 Первые научные воспоминания10Род Арнольдов12Домашняя библиотека16Аксиоматический метод18Школьные годы19Цвет меридиана21Трудно сохранить тайну 22 Храм науки24Госэкзамен по основам марксизма26Благие намерения28Сахар Лапласа  29 Уравнение теплопроводности 30 Кто кого 31 Лавуазье и французская математика времён революции32Королева Элеонора, Розамунда и теория лабиринтов34Площадь Вогезов38Чампл Зи

40 Нейтрино, нейтроны и Бруно Понтекорво

42 Как отличить хорошую математическую работу от плохой 44 Комбинаторика у Плутарха 47 Топология поверхностей по Александру Македонскому48 Охота на змей49Гильотина и Мария-Антуанетта50Дамьеновы муки52Королева Марго и царство законности 53 Жанна д’Арк как ведьма и как святая 54Равальяк, французская кухня и уличные пробки57Анна Ярославна58Геннадий Новгородский и обучение молодёжи при Иване III  59Екатерина I и Прутский поход60Екатерина II и И. И. Бецкой62Крымская война63Дашкова и парашюты64Осквернение святыни и абстрактная алгебра66Цезарь и галлы: защита Рима от германцев67Франция — Гвинея — Индия68Тигры Тамила в швейцарском консульстве в Париже 69 Отдел планирования70Горные львы над Стенфордом72Гонконг74Бразильские путешествия

76 Лейбниц как предтеча Бурбаки

78 Происхождение математики: путь из Египта в Грецию 79 Мотивировка при преподавании математики в Израиле 80 Борьба с иностранцами и с их языками82«Наша Манчжурия» 83Из истории французской экономики 84 Рамануджан и Харди 85Отлёты саранчи и отселение оленей90За клюквой 91Томография мозга, геометрия и алгебра 92Несъедобные зайцы93Аксиньинское кладбище94

1. июнь 1941 года. Солнце .. речке Рожайке — песок, перекат, синие стрекозы; …кормить с руки куском чёрного хлеба с солью здорового коня. Конь таскал сеялку и после жнейку, сиденье железное в дырочках — мечта!

Но вот началась война: бомбоубежище в Москве на Трубниковском; роем окопы (щели) в своем саду (на Спасопесковском, дом 8); театр Вахтангова разбомблён при попытке попасть в Бородинский мост; лучи прожекторов, самолёты, осколки…

Эвакуация в Казань и потом в Магнитогорск. В Казани я спал у Чеботарёва под роялем, но помню больше кино в парке — паровоз идёт на нас с простыни… Друзья: Катаевы, Урновы — … Начал учить французский (бабушка долго жила в Страсбурге с братом Л. И. Мандельштамом … «Робинзон Крузо», позже «Таинственный остров». Писать я всё же сперва научился по-русски. И родители, и бабушка болтали свободно по-английски, по-немецки ипо-французски,

Первые научные воспоминания

двое моих дядьёв: Николай Борисович Житков (сын брата моей бабушки писателя Бориса Житкова, инженер-буровик) за полчаса объяснил двенадцатилетнему подростку математический анализ (иллюстрируя его параболоидальной формой поверхности чая, вращающегося вокруг оси в стакане), а Михаил Александрович Исакович (брат моей матери, физик) пробовал на мне многочисленные задачи и главы учебника физики, который он писал в составе большого коллектива, руководимого Г. С. Ландсбергом (оба были учениками Л. И. Мандельштама, крупнейшего физика и радиотехника, брата другой моей бабушки).

Свой первый научный доклад я сделал в возрасте лет десяти в «добровольном научном обществе», организованном Алексеем Андреевичем Ляпуновым у себя дома. Там мы занимались то физикой, то биологией (включая запрещённую генетику и кибернетику), то космологией, то геологией. Мой доклад был об интерференции волн, с опытами в ванне, с описанием определения положения самолёта над Тихим океаном по пересечению двух гипербол (заданных разностями фаз сигналов от трёх радиостанций): заодно я разобрал и объяснил теорию конических сечений, сферы Данделена, переход от эллипсов к параболам и к гиперболам, с одной стороны, и принцип Гюйгенса теории распространения волн, с другой…. один стал знаменитым кардиологом, несколько членов общества теперь академики РАН….. главным для меня выводом из моих частых детских разговоров с замечательными учёными разных специальностей было ощущение глубокого единства всех наук (включая не только математику, физику и астрономию, но и лингвистику, и археологию, и генетику), да и всей европейской культуры, от Лукреция до Бенвенуто Челлини и от Марка Аврелия до капитана Скотта. … Алексей Андреевич Ляпунов, математик и логик, демонстрировал детям теорию Канта—Лапласа образования Солнечной системы, вращая в колбе смесь анилина с глицерином, пока анилин не собирался в подобные планетам шары. И он же давал нам читать сочинения шлиссельбуржца Морозова, дискутировавшего историческую хронологию с астрономических позиций; но … «нобелевского» уровня просто в повседневном общении.

Домашняя библиотека

…по-французски я научился читать немного раньше, чемпо-русски, …пользуюсь скорее немецкой грамматикой с длинными сложными предложениями, не пренебрегая возможностью вставить в конце фразы отрицание. Я думал, что это связано с немецкими генами Арнольдов, но позже лингвисты разъяснили мне, что немецкая грамматика обладает какой-то фундаментальной примитивностью, которая была когда-то присуща и всем языкам, … Радищев, карбонарии и антицаристские революции в России — не независимы: … курс анализа Грэнвилля и Лузина, …Книги коллекции Бореля наводили на меня скуку; Лопиталь и Гурса, которого так заклеймили Бурбаки, были куда интереснее, и я их читал охотнее. Была ещё многотомная немецкая математическая энциклопедия под редакцией Ф. Клейна, … немецкий я выучил только в университете, а до того он был как бы криптограммой.

Было много замечательных книг серии «Матезис», в том числе популярные книжки Пуанкаре — в этой серии математика и физика соединялись.

Моя первая (совместная с А. А. Кирилловым) математическая работа никогда не была опубликована, хотя мы (студенты-младшекурсники) и переписали её (по приказу поставившего нам задачу профессора Е. Б. Дынкина) семь раз. … учебника Коши и наткнулся на практически ту же самую теорему, которую я только что доказал.

Храм науки

… в записной книжке L было чёрным по белому написано: «Никогда не иметь дела с сукой A и с гнидой X».

Я. Б. Зельдович написал замечательный учебник «Математика для начинающих физиков и инженеров». Математики пришли в ярость и устроили битвы из-за его (якобы) нестрогости и ошибочности. В конце концов главный критик Понтрягин написал свой (скучнейший) учебник математического анализа для начинающих.

В учебнике Зельдовича производная определялась как «отношение приращения функции к приращению аргумента, в предположении, что последнее достаточно мало».

Никаких пределов он здесь рассматривать не хотел, так как, по его словам, «приращения, меньшие 10–10, всё равно нет смысла рассматривать: ведь структура и пространства, и времени в столь тесной близости вовсе не описывается математическим континуумом».

— Нас, — говорил он, — всегда интересует именно отношение конечных приращений, а производные математиков — это просто приближённые математические формулы для вычисления отношений этих конечных приращений….удар, либо потребуется бесконечное время. Вот почему последний этап швартовки матрос завершает вручную, набросив причальный трос на кнехт пристани. По этой же причине при посадке космических кораблей на Луну и на Марс они должны попрыгать на упруго демпфирующих удары ногах, — вот из-за чего Лидов и знал все эти тонкости с теоремой единственности.

В храме Христа Спасителя было четыре агатовых колонны. При взрыве их спасли — перевезли в Донской монастырь, а потом в Университет…ректора

Госэкзамен по основам марксизма

… «удовлетворительно»: он ничего ни в чём не понимал, а всё только вызубривал — как в математике, так и в марксизме.

…верующая мусульманка и настаивал на отметке «удовлетворительно». Всё же мне удалось отспорить ей отметку «хорошо»

Уравнение теплопроводности

…под кедами показалась вода. Вскоре я понял, что форма льда — гауссовская колоколообразная (перевёрнутая) кривая. Ещё через минуту стало ясно, что я наблюдаю фундаментальное решение уравнения теплопроводности (в обратном времени). И, действительно, слегка не дойдя до дельта-функции, лёд провалился, и я оказался в проруби диаметром в полметра, метрах в тридцати от берега.

Хотя толщина льда, почти уже белого от многочисленных заполненных водой трещинок, была 5–10 сантиметров, вылезти на него оказалось очень трудно. Этот лёд, который минуту назад удерживал меня вместе с гауссовой лужей метра четыре в диаметре и полметра глубиной в центре, теперь немедленно ломался, когда я клал руку на край проруби. В конце концов прорубь расширилась и позволила мне разогнаться вплавь и выброситься на ещё нетронутый лёд, по которому я и двигался дальше ползком, пока не перешёл озеро до конца.

Связь прогиба льда с уравнением теплопроводности меня уже тогда не удивила, так как я читал воспоминания фон Кармана, который ответил в Москве какому-то специалисту на вопрос о поведении решений одного уравнения с частными производными:

— Это вы хотите танки через Байкал перегонять?

Фон Карман напугал тогда принимавших его лиц своим мгновенным предсказанием серии дождей во Внукове:

— Дело в том, — сказал он, — что над нами сейчас проходит дорожка Кармана.

В конце войны Карману было поручено перевезти в США немецких специалистов по ракетам, не допустив их захвата русскими. Он, действительно, привёз фон Брауна (и тем основал американскую ракетную промышленность), в то время как попавшие в Россию представители Пенемюнде (где делались Фау-2) были поселены на острове Городомля посреди Селигера и всегда сожалели о том, что их знания и умения так и не были использованы по-настоящему. (Карман воспитал также китайского помощника фон Брауна в США, который впоследствии вернулся в Китай и создал там ракеты.)…в Гёттингене встретился со своим старым учителем, Прандтлем (который и для Колмогорова значил в гидродинамике более, чем кто-либо). Прандтль сообщил, что он и не подозревал об ужасных преступлениях нацизма, о концлагерях, фотографии которых стали тогда публиковаться, и т.п.

— С вашим умом это можно было бы вычислить, господин учитель, — ответил Карман.

Чампл Зи

В 1965 году, вероятно в марте, я жил в Ситэ Университэр в Париже и однажды вечером, выйдя на Бульвар Периферик, встретил длиннющий американский лимузин. …

Лет через двадцать пять моя жена учила французский после английского. … на Учёном совете Математического института имени В. А. Стеклова. В течение многих лет председателем этого Совета был Иван Матвеевич Виноградов — теоретико-числовик, который никогда не мог правильно прочитать название диссертации, если там встречалось трудное слово «дифференциальные уравнения». Он всегда читал «диофантовы» вместо «дифференциальные» — теоретике-числовику так проще. (Перепутав вдобавок фамилию оппонента, Виноградов оправдывал себя словами: «Ну, ничего, не велика птица».)…

Уроки французского и английского в США, Франции и Англии привели меня к многим парадоксальным выводам. Например, студентам по английской литературе в английском Кембридже пришлось объяснять, кто такой Шелли. В Гарварде студентка по истории искусств так отвечала по-французски преподавателю:… французские философы XIX века ругали Папу Римского за то, что он «сжёг Галилея».От коллег (и во Франции, и в английском Кембридже) я слышал поправку к этому обвинению: «Здесь, конечно, имя Галилея стоит по ошибке: речь шла, на самом деле, о Тихо Браге».

Имя Джордано Бруно знают практически только в России. Папа Римский сказал мне в 1998 году, что Бруно невозможно амнистировать, пока не подтверждена его еретическая теория множественности обитаемых миров (не противоречащая, по словам Бруно, Святому Писанию): «Вот найдите инопланетян, тогда можно будет обсудить!».
Нейтрино, нейтроны и Бруно Понтекорво

Недавно Академия рысей (Линчей) 2 посвятила заседание памяти скончавшегося в 1993 году Бруно Понтекорво — физика, жившего с 1950 года в России, работавшего долгие годы в Дубне в Институте ядерной физики…. не будет путать нейтроны с нейтрино! Комментируя этот рассказ, докладчик заметил:

— Теперь, хотя Бруно до этого не дожил, его предсказание, пожалуй, сбылось: сегодня люди ничего не знают не только о нейтрино, но и о нейтроне!

Читая в Дубне в 2000 году лекцию для учителей «Нужна ли в школе математика?», я, ссылаясь на описанное выше предсказание Понтекорво, добавил: «Видимо, все эти прогнозы относятся не только к нейтрино, но и ко всей науке, в том числе и к математике — наши сегодняшние дискуссии о преподавании математики станут скоро бессмысленными потому, что никто в мире не будет уже знать, чем отличается треугольник от трапеции!».

Правительства всех стран наступают сейчас на науку, культуру и образование (этот процесс американизации часто неправильно называют глобализацией). Л. Н. Толстой писал: «Сила правительства держится на невежестве народа, и оно знает это, а потому всегда будет бороться против образования».3

Как математику, мне особенно приятно вспоминать представленную Бруно Понтекорво в ДАН (Доклады Академии наук СССР) статью «О размерностях физических величин» Ораса де Бартини. Она начиналась словами: «Пусть A есть унарный и, следовательно, унитарный объект. Тогда A есть A, поэтому…», а заканчивалась благодарностью сотруднице «за помощь в вычислении нулей пси-функции».

Эту зло пародирующую псевдоматематический вздор статью (опубликованную, помнится, около 1 апреля) студенты моего поколения знали давно, так как её автор — замечательный итальянский авиаконструктор, работавший в России совсем в другой области науки,4 — пытался опубликовать её в Докладах уже несколько лет. Но академик Н. Н. Боголюбов, которого он об этом просил, не решился представить эту заметку в ДАН, и только избрание Бруно Понтекорво действительным членом Академии сделало эту очень полезную публикацию возможной.

Но, к сожалению, и Доклады, и другие математические журналы до сих пор полны «унарными объектами» и подобным вздором. Последнее время, правда, РАН начала передавать права на издание английской версии своих научных журналов издателю «Пентхауза» (видимо, думая: «Туда им и дорога!»).

Как отличить хорошую математическую работу от плохой

Когда я стал заниматься в библиотеке Института Анри Пуанкаре в Париже в 1965 году, французские математики встретили меня очень радушно. Со времён террора в Париже обязательно называть друг друга на «ты», и в кругах интеллигенции этот обычай свято соблюдается до сих пор…. отыскиваю нужный номер журнала на полке. Если статья ещё не украдена, значит она была плохая!… я не знаю, сохранила ли библиотека прежние патриархальные нравы: ксерокс и электроника сделали вырезывание страниц с нужной статьей старомодным.

… не сочувствую этой секте, то мне объяснили, что они считают меня «московским бурбакистом» (вероятно, напрасно: для меня примеры всегда важнее общих положений, а индукция предпочтительнее дедукции).

В марте 2001 года я даже удостоился двухчасовой публичной дуэли с представлявшим Бурбаки крупнейшим французским математикомЖ.-П. Серром в Институте Пуанкаре в Париже. Серр доказывал, что нуль — положительное число, так как он больше нуля (по Бурбаки это так!). Я же отстаивал мнение, что математика — часть физики и, как и физика — наука экспериментальная, отличающаяся только тем, что в физике эксперименты стоят обычно миллиарды долларов, а в математике — единицы рублей. …Вероятно, именно снобизм «чистых» математиков и подобных им «экспертов» других специальностей заставляет общество и правительства пренебрежительно относиться к фундаментальной науке и поощрять только так называемые «прикладные науки». Например, германские физики были ближе всех к атомной бомбе в начале Второй мировой войны, но атомные исследования были у них сочтены чистой наукой, не имеющей (и не будущей иметь в обозримое время) прикладного значения. То же происходило и у нас. Ленинградский физтех в 1936 году осуждался за занятия «оторванными от практики проблемами» вроде ядерной физики.

И. В. Курчатов, под руководством которого уже шли первые исследования по физике ядра и частиц, с началом войны немедленно перешёл на «прикладную работу» (по обеспечению безопасности военных кораблей от магнитных мин). И только прекращение американских публикаций по ядерной технике помогло убедить наше начальство в прикладном её значении.

П. Л. Капица пытался объяснить Сталину, что «дирижёр должен не только махать палочкой, но и понимать партитуру» (он имел в виду главного руководителя проекта, не имевшего физического образования). Впрочем, в письме самому этому наркому он писал: «В случае, если я замечу со стороны Ландау какие-либо высказывания, направленные во вред советской власти, то немедленно сообщу об этом органам НКВД» — и этим, по-видимому, способствовал освобождению Ландау из Бутырок. [Ландау посадили в апреле 1938 и выпустили в апреле 1939 года. К этому времени он уже, что называется, «доходил». Хлопоты Капицы в деле его освобождения были решающими и Ландау помнил об этом всю жизнь. Поэтому он спокойно относился к властному, а порой и грубому отношению Капицы к себе, чего вряд ли потерпел бы со стороныкого-либо другого. — E.G.A.]

«Прикладные» математики разработали позже компьютерный метод поиска полезных ископаемых и нашли золото в долине, где геологи его не ожидали. Но …

В настоящее время компьютерные мафии всего мира осуществляют долговременный план уничтожения математической (и всякой другой) науки, культуры и образования. Сначала ликвидируются книги и журналы, потом — лекции, экзамены и т.д. Академик Е. Л. Фейнберг в замечательной книге «Эпоха и личность. Физики» (М.: Наука, 1999) пишет, что «в условиях террора погружение в науку есть единственная возможность для учёного сохранить себя как личность: были бы только лаборатории и библиотеки». Так вот, их-то скоро и не будет.

Вот ещё пример компьютерного бескультурья. Помещая в Internet мою популярную статью (кстати, без моего разрешения и моего контроля), компьютерщики исказили мою оценку роста метеорологических возмущений за несколько недель. У меня стояло «примерно в 105 раз» (т.е. возмущения нарастают в сто тысяч раз, делая динамическое прогнозирование погоды на такой срок принципиально невозможным). В электронной версии вместо этого было «примерно в 105 раз». …

Отдел планирования

…в каждом посольстве есть такой, чистая теория матриц!

— Каких матриц?

— Матрица — это таблица с двумя входами. Входы — все государства. В клеточке (ij) стоит число визовых неприятностей государства iгосударству j в прошлом году. Если хотите улучшить отношения — уменьшите число неприятностей, ухудшить — увеличьте. Это они и планируют. На ком реализовать план — чиновнику всё равно. Вот и надо сделать, чтобы у него не было интереса ухудшить на вас!

— И как же этого добиться?

— Очень просто: я ему объяснила, какие у Нобеля были отношения с Миттаг-Лефлером из-за жены!

— Но это легенда!

— Знаю, но чиновнику зачем это знать? Он узнал от меня, почему есть Филдсовские медали по математике!

— Но я же не имею отношения к Филдсовским медалям!

— И это я знаю, но чиновнику и это незачем знать!

Николь знаменита также замечательным детективом, описывающим убийство в математическом институте (Бюр-сюр-Иветт под Парижем, где она была секретарём). [Небольшой кусочек из статьи Allyn Jackson «The IHÉS at Forty» (Notices of the AMS, 1999, March, p. 329–337): «Kuiper’s secretary, Nicole Gaume, was ousted after Kuiper’s retirement, and she took her revenge by writing a novel about the IHÉS. Entitled Dis-moi qui tu aimes(je te dirai qui tu hais[Tell me whom you love (I’ll tell you whom you hate)], and written under the nom de plume Margot Bruyère, the book was ostensibly a murder mystery, but in fact attempted a thinly veiled exposé of life at the institute.» Любопытно было бы эту книжку почитать, но она, вроде, только на французском… — E.G.A.]

Лейбниц как предтеча Бурбаки

Лейбниц считал дедуктивные умозаключения убедительным доказательством существования Бога. Ибо наблюдение частных случаев, по его мнению, не может привести нас к общим идеям. И, если мы всё же их постигаем, то только путём самонаблюдения — наблюдая не внешний мир и явления природы, а следя за тем, как работает наш мозг, куда все эти универсальные принципы, из которых все частные случаи выводятся, были, по мнению Лейбница, изначально вложены Создателем. «Ибо, — говорит он в письме королеве Софии-Шарлотте, которую он хотел таким способом защитить от влияния «безбожника Ньютона», — к этим универсальным законам можно привести даже ребёнка, умело задавая ему, по образцу Сократа, нужные вопросы».

Интересно, что проклятия по адресу индуктивного метода раздавались и позже, например Абель писал в письме Ханстину в 1826 году о «несчастном методе выводить общее из частного». … Ханстин получил 9500 талеров для организации экспедиции в Сибирь с целью поисков четвёртого (!) магнитного полюса.

Прикладная наука вытесняла фундаментальную уже тогда: Абель заметил, что в Париже математики интересуются только астрономией, теорией теплоты, оптикой и теорией упругости, исключая разве одного Коши, сохранившего интерес к чистой математике, но совершенно свихнувшегося. Лагранж (в основном, в Берлине) занимался математикой, по его словам, только потому, что отец не оставил ему достаточного наследства. Работу Абеля дали на отзыв Коши, и он её потерял. Лейбниц думал, что d(uv) = du·dv и что кривая пересекает свою окружность кривизны с кратностью 4.

В одном французском физическом журнале («Fusion», 2001, № 84) я прочитал недавно, что вся слава Ньютона — якобы дутая и похищенная у Лейбница, да вдобавок и создана она французом Аруэтом (более известным под своим псевдонимом «Вольтер»).

Аруэт, пишут французы, учился в Париже в лицее Людовика Великого, где его учитель, иезуит, воспитал в нём крайний антисемитизм, который и был основой вольтеровского атеизма и антихристианских настроений (ведь Иисус был еврей!). Ради борьбы с христианством Вольтер решил лишить главного его учёного поборника, Лейбница, авторитета математика, и даже поехал ради этого в Берлин, где, споря с королём Фридрихом, пытался развенчать Лейбница. Но это не удалось. Тогда Вольтер поехал в Лондон к Ньютону, чтобы оспорить приоритет Лейбница. Но он опоздал на несколько недель — Ньютон умер, и только его племянница, Катерина Бартон, рассказала Вольтеру о яблоках, при помощи которых ему и удалось создать культ Ньютона.

…— Помесь тигра с обезьяной — это же Пушкин! С тех пор в Лицее у него было прозвище «француз».

«Наша Манчжурия»

…Япония никогда не простит России, что вы отняли у нас нашу Манчжурию.

… и об истории, и о географии весьма сомнительные. Главное, что его возмущало, было то, что, по его словам, Россия проиграла войну Японии и просто использовала испуг, произведённый американской атомной бомбой, чтобы захватить себе Манчжурию (Китай он вообще не признавал).

Случалось мне видеть и немцев, проводивших свою восточную границу в Заволжье, …Гитлера.. (у нас это был бы Юрий Долгорукий: граф Адольф — средневековый основатель Дюссельдорфа). Старушка выразила своё удовлетворение словами:

— Он это заслужил!

Рамануджан и Харди

Харди (1877–1947) в Кембридже написал свои лучшие работы. Обычно он делал их с Литлвудом, живя в одном (Тринити) колледже (… где обедал Ньютон.

Но правила Тринити строго запрещают разговаривать за едой о своей науке и вообще о предметах, более серьёзных, чем погода: ведь даже при разговоре о левостороннем движении возникает риск спора, нарушающего пищеварение. Потому senior fellows («старшие товарищи») обязаны при первом же разногласии провозгласить примиряющую формулу: «So we all agree that we disagree» («Итак, мы все согласны, что у нас есть разногласия») — и тогда спор прекратится…. Байрон, будучи студентом (в холле Тринити-колледжа висит прекрасный его портрет тех времён) был очень недоволен этим запретом и, в конце концов, поселил в своей келье колледжа медведя. На возражения начальства он заявил, что это — новый ученик, а вовсе не собака и не лошадь: он куда умнее большинства студентов. Традиция велит уважать правила.

Итак, Харди и Литлвуд никогда не говорили между собой о математике. [Просто не могу в это поверить, учитывая, что Рамануджан говорил с Харди почти исключительно о математике, а также вспоминая кое-какие места из «Математической смеси». :) — E.G.A.] Зато каждый из них писал весь день, а вечером отправлял написанное другому (через сторожей колледжа, дежуривших у входа и разносивших ежедневно почту, что продолжается и сейчас). После многократного путешествия текста туда и обратно он превращался в очередную замечательную совместную статью, происхождение которой иначе было бы трудно объяснить, учитывая разницу характеров и стилей обоих авторов. Стиль Литлвуда ясен из его замечательных воспоминаний «Математическая смесь».

Литлвуд был альпинистом, использовавшим сложность готической архитектуры Кембриджа для скалолазания. А в математике он был прямым наследником Ньютона и Пуанкаре, подрабатывая даже и работами по артиллерийской баллистике. Я был поражён, обнаружив его оценки длительности сохранения адиабатического инварианта в гамильтоновой системе (предшествовавшие и моему доказательству вечного сохранения этого инварианта, и знаменитым экспоненциальным оценкам Нехорошева в теории КАМ). Быть может, ещё поразительнее то, что «теория хаоса» в динамических системах, включая «подкову Смейла», уже была разработана и опубликована Литлвудом (и Литлвудом с Картрайт, которая мне об этом и сообщила) задолго до Смейла, Синая, Алексеева и Аносова.

Харди же, ничего в динамических системах и в артиллерии не понимал: он был «сверхчистым» снобом, гордившимся больше всего успехами в теории чисел, которую он, вслед за Гауссом, называл «королевой математики» (объясняя сходство теории чисел с королевой полной бесполезностью обеих… Харди не зря называл интегралы Рамануджана «наименее импонирующими» — пару-тройку из них можно найти, что называется, «не отходя от кассы», а такой блестящий специалист по анализу, как Харди, уж, конечно, мог это проделать одной левой. :) — E.G.A.] Подумав некоторое время о том, гений ли автор или неудачник, Харди в конце концов пригласил его в Кембридж, где они затем несколько лет работали столь же оригинально и успешно, как с Литлвудом, с этим молодым индусом — Рамануджаном (бронзовый бюст которого украшает теперь Тата Институт фундаментальных исследований в Бомбее).

Результаты Рамануджана (1887–1920) оказались действительно гениальными, хотя путь, по которому он до них дошёл, и сегодня остаётся достаточно таинственным, тем более, что математическое образование Рамануджана оставляло желать лучшего. Вероятно, Рамануджан часто опирался на эксперимент — на скрываемые им большие вычисления (компьютеров тогда не было). Но всего через несколько лет ещё молодой Рамануджан умер, оставшись навсегда самым славным именем в математике Индии…. индусский физик Чандрасекар, приехавший из Америки. Комната друга показалась ему холодной, но Рамануджан объяснил ему, что по-настоящему он мёрзнет только по ночам — ведь в Кембридже бывают даже заморозки! Гость отправился осматривать условия в спальне, и тут выяснил, что Рамануджан спал на одеялах, не подозревая, что ими нужно укрываться (в Мадрасе этого не делают). [Похоже на анекдот. Или Чандрасекаров было несколько? По крайней мере известный астрофизик Субраманьян Чандрасекар родился в 1910 году и в друзья Рамануджану никак не годился. — E.G.A.] Именно поэтому он так и мёрз, поэтому и заболел (кажется, сначала воспалением лёгких, а потом чахоткой) — эта болезнь и свела его в могилу совсем ещё молодым….вклад Рамануджана в математику остался непревзойдённым: его имя стоит рядом с именами Абеля и Галуа.

Один из самых знаменитых результатов Рамануджана связывает не вычислимые по отдельности (даже через числа π и e) слагаемые

A = 1 + 1

1·3

 + 1

1·3·5

 + … ,

 

B = 1  .
1 + 1
1 + 2
1 + 3

1 + …

 

удивительной формулой для их суммы:

A + B = Ö  πe

2

 .

 

Вот пример удивительных открытий Рамануджана — его теоремы о делимости чисел разбиений.

Для любого натурального числа n обозначим через p(n) число различных разбиений числа n на натуральные слагаемые. Например, p(3) = 3,как это показывают три разбиения (других нет):

3 = 3,     3 = 2 + 1,     3 = 1 + 1 + 1.

 

Числа разбиений при n = 1, 2, 3, … образуют последовательность

p(n) = 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, … ,

 

которая много изучалась, начиная с Эйлера, связавшего её с теорией степенных рядов и градуированных колец в своём «Введении в анализ».

Рост этой последовательности при больших n описывается асимптотической формулой Харди–Рамануджана–Радемахера

 p(n) ~ 1

4nÖ3

 exp ( π Ö 2n

3

) .

 

[В таком виде формулу получил Успенский (публикация в ДАН от 1920 года). Это всего лишь главный член асимптотики, причём без указания остаточного члена. Заслуга Харди и Рамануджана состояла в том, что они получили весь асимптотический ряд (кстати, и по времени раньше Успенского), найдя более хитрую эквивалентную асимптотику (знаменитая добавка 1/24). История нахождения асимптотики p(n) стала широко известна благодаря Литлвуду. Подробности здесь. — E.G.A.]

Согласно майору британской артиллерии МакМагону,

p(200) = 3 972 999 029 388.

(Это число можно вычислить по дающему большую точность приближению в правой части формулы, только выписанного члена асимптотики будет маловато, получается 4 100 251 432 187,8. Чтобы получить точное значение надо взять восемь слагаемых ряда Радемахера. — E.G.A..)

В этой формуле всё удивительно: в левой части стоит целое число чисто комбинаторного происхождения, задающее, сколькими способами можно разбить n на слагаемые.

В правой части стоит комбинация экспоненциальной и коренных функций, в которой вдобавок участвуют иррациональные числа:π = 3,14… (задающее отношение длины окружности к её диаметру) и число Непера e = 2,718… (являющееся основой всего математического анализа).

То, что левая часть с большой точностью вычисляется по такой формуле, — совершенно удивительное открытие, где ярко проявляется фундаментальное единство всех частей математической науки: алгебры, геометрии, анализа, комбинаторики, теории вероятностей и техники приближённых вычислений.

Открытия Рамануджана делимости чисел разбиений состоят, например, в следующем:

числа  p(5n+4) [это 5, 30, 135, …] делятся на 5.

 

Математика — экспериментальная наука, и свои открытия Рамануджан сделал, экспериментируя с приведённой выше последовательностью.

Восхищаясь гением Рамануджана, я всё же больше люблю чем-то более близких мне Абеля и Литлвуда. Доказательство Абеля неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений степени 5 и выше я в 1963 году перевёл на топологический язык теории римановых поверхностей и групп монодромий накрытий — это доказательство я рассказал тогда московским школьникам, и один из них впоследствии издал это доказательство в виде книжки (В. Б. Алексеев, «Теорема Абеля в задачах и решениях». — М.: Наука, 1976). Поэтому в 2001 году один талантливый польский математик (долго обучавшийся в Москве) опубликовал по-английски своё «новое топологическое доказательство теоремы Абеля» в журнале «Топологические методы в нелинейном анализе».

Томография мозга, геометрия и алгебра

… мужской и женский мозг анатомически различны с рождения (это — статистика: у некоторых женщин мозг скорее мужской).

Например, часть мозга, отвечающая за умножение многозначных чисел, у женщин, в среднем, в несколько раз больше и сильнее, чем у мужчин. Напротив, пространственное ориентирование (будь то в лесу или в городе) легче даётся мужчинам — опять-таки по анатомическим причинам.

У женщин, как правило, более развито мозолистое тело, осуществляющее связи между левым и правым полушариями мозга. Поэтому они используют обычно оба полушария: и левое, склонное к логике и к последовательным действиям; и правое, ответственное за пространственную ориентировку и за эмоции.

Напротив, из мужчин большинство либо левополушарны, либо правополушарны, и склонны заменять своё менее привычное к работе полушарие более привычным: одни решают геометрические задачи алгебраически (как Декарт, изгнавший чертежи из геометрии), а другие применяют геометрию для решения алгебраических задач (как Ж.-Ж. Руссо, который говорит в «Исповеди», что не мог поверить выведенной им самим формуле «квадрат суммы равен сумме квадратов слагаемых с удвоенным их произведением», пока не нарисовал чертёж).

С точки зрения математика, томография — это приложение теории рядов Фурье в медицине. Даже такой тонкий факт этой теории, как так называемое «явление Гиббса» (отличие предела графиков частичных сумм ряда от графика предела этих сумм) виден на томограмме в качестве артефакта: внутри изображения органа появляются дополнительные линии, которых в реальном органе нет. А именно, такими линиями являются прямые, касающиеся границ изображений костей либо в двух точках, либо в одной точке перегиба границы изображения, где выпуклость сменяется вогнутостью. Не зная явления Гиббса, можно начать лечить несуществующую болезнь.

Несъедобные зайцы

Абстрактная идея числа (безотносительно к тому, что именно считается) неочевидна, и абстрактные числа имеются не во всех языках. Например, по-японски употребляются разные числительные, в зависимости от того, стоят считанные объекты или лежат, съедобны ли онии т.п. По-русски тоже есть счёт «один, два, три…» и есть «раз, два, три…», не вполне взаимозаменяемые.

Несколько лет назад японцам пришлось столкнуться с неудобством различных числительных в законодательстве. Дело в том, что во время дебатов о продовольственной проблеме один из депутатов обратил внимание собрания на то, что по японским горам бегают зайцы — прекрасная, но не используемая населением пища. Беда оказалась связанной с тем, что зайцы считаются числительными, означающими несъедобные предметы — потому зайцев и не едят.

Была создана комиссия по решению проблемы. Она через небольшое время предложила законопроект, который был принят и решил проблему. Новый закон гласит: «заяц — птица».

Библия запрещает есть зайцев с удивительной формулировкой: «Только сих не ешьте из жующих жвачку и имеющих раздвоенные копыта:… зайца, потому что он жуёт жвачку, но копыта его не раздвоены» (Левит, 11, 6).

Аксиньинское кладбище

я увидел на кладбище две разрытые могилы и предупредил Саню (6 лет), что будут похороны, и что нам предстоит пройти мимо разрытых могил: — А это, если у кого много грехов, опасно — черти могут через могилу утащить в ад. Тогда Саня попросил дать ему сперва немного подумать. Через несколько минут он решился… шёл странный чёрный человек с чёрным зонтом, но и он ничего плохого не сделал.

— Вот видишь, — сказал я Сане, — не такие уж у тебя страшные грехи.

— Неужели, — ответил Саня, — ты мог подумать, что я за себя боялся?

 

Примечания

1. См., например, «Пушкин и Франция» — М.: Рудомино, 1999, с. 107–113. назад к тексту
2. Название этой важейшей Академии Италии происходит от представления о необыкновенной прозорливости рысей. Расписываясь в списке Линчей, я убедился, что Галилей был шестым из «рысей», а с Понтекорво я встречался на заседаниях то Линчей, то РАН. назад к тексту
3. Письмо к А. М. Калмыковой от 31 августа 1896 года (Л. Н. Толстой. Сочинения. Том 19, с. 364. М., 1984). назад к тексту
4. О работе Бартини с А. Н. Туполевым и С. П. Королёвым в «шарашке» Е. Л. Фейнберг рассказывает (в своей книге «Эпоха и личность» — М.: Наука, 1999; с. 285) следующее. Берия сам обносил «гостей» блюдом с пирожками. Итальянский аристократ сказал: «Лаврентий Павлович, вот мы все вместе так хорошо, дружески пируем, беседуем — я хочу вам сказать совершенно искренне и правдиво: я ведь ни в чём не виноват». Берия ответил: «Конечно, не виноват: был бы виноват, мы бы расстреляли!». назад к тексту

Y

Аpнольд В.И. «Избpанное-60» жизнеописание,  мат (теоремы, гипотезы, обзоры), (воспоминания, размышления, публицистика), комментарии 1760
«Истории давние и недавние» 55
«Лекции об ypавнениях с частными пpоизводными» 176
Аpнольд В.И.

«Новый обскурантизм и российское просвещение»

44
«Особенности каyстик и волновых фpонтов»
«Задачи Аpнольда» (твердый пеpеплёт) 363
«Задачи Аpнольда» (мягкая обложка) 330
Кассель К.

«Квантовые гpyппы»

660
Киpиллов А.А.

«Пpеделы»

 44
Кобзаpев И.Ю., Манин Ю.И.

«Элементаpные частицы. Диалоги физика и математика»

198
Ковалев И.И.

«Земная тайна»

56
Колмогоpов А.H.

«Основные понятия теоpии веpоятностей»

143
«Комплексный анализ в современной математике» 297

 

«Яков Борисович Зельдович (воспоминания, письма, документы)»  М., Физматлит, 2008. — 416 с.

В. И. Арнольд ЯБ  И  МАТЕМАТИКА

Обычно Яков Борисович звонил мне в семь утра. «Не кажется ли Вам…», — говорил он, и далее  что-нибудь парадоксальное. Последний …о странном, «хаотическом» поведении решений уравнений Риккати с периодическими коэффициентами1. … — многочлен второй степени относительно зависимой переменной. Решениям этого уравнения свойственно убегать на бесконечность за конечное время. …Хаос, о котором говорил Яков Борисович, возникает, если свернуть ось зависимой переменной в окружность, добавив одну бесконечно удалённую точку.

Периодичность коэффициентов позволяет свернуть в окружность и ось времени (ось независимой переменной). Получается динамическая система на замкнутом многообразии — на поверхности тора. Свойства таких систем изучал ещё А. Пуанкаре, который обнаружил, что они сильно зависят от того, иррационально или рационально «число вращения» — средний по времени наклон траекторий. Если число вращения рационально («резонанс»), то некоторые (а для уравнений Риккати обычно все) траектории замкнуты. В иррациональном же («общем») случае траектория плотно покрывает тор и возвращается бесконечно много раз в любую окрестность начальной точки, никогда не повторяясь точно. Причём временно́е среднее любой функции вдоль траектории совпадает с её средним на поверхности тора («эргодичность», т.е. первая ступень «хаоса»).

Речь шла, таким образом, о переоткрытии важного раздела современной математической теории динамических систем. Применения теории Пуанкаре к уравнению Риккати должны бы были входить в учебники, но, насколько я понимаю, никто из математиков их не заметил. Психологическая трудность здесь — изменение топологии фазового пространства (переход от аффинной прямой к проективной) — сродни описанию решения Шварцшильда при помощи топологии чёрной дыры. … в начале 70-х и я рассказывал ему о недавних тогда достижениях теории динамических систем (непредсказуемость, хаотичность, турбулентность, странные аттракторы, инвариантные торы и т.д.), Яков Борисович некоторое время пытался упорствовать — держался за старые догмы. К счастью, я не поддался ни на запугивание авторитарным тоном, ни на ссылки на Ландау, и (робко) сказал: «Но, Яков Борисович, на это можно взглянуть с другой точки зрения».

«Да?» — ответил Яков Борисович и немедленно сделал стойку на голове. Несколько минут он смотрел на доску, исписанную мелом, снизу вверх, потом перевернулся и стал обсуждать, на каких физических задачах следует немедленно пробовать новые математические теории…. ближе к позиции более молодого поколения математиков и физиков-теоретиков (Л. Д. Фаддеев, A. M. Поляков, С. П. Новиков), для которых качественная, геометрическая, концептуальная математика сливается с теоретической физикой. Математика понятий и идей, а вовсе не одних только вычислений, была его стихией…. ЯБ 1941 г. о реакциях в струе фактически построена теория бифуркаций кривой равновесий в произведении фазового пространства на ось параметра — теория рождения и умирания новых «островков» этой кривой. В современной математической теории уравнений с малым параметром эти явления изучены лишь в конце 70-х годов (в работах французских математиков по так называемому «нестандартному анализу» и «теории уток»). … для широкого класса систем «общего положения». Строгое математическое доказательство того, что системы, ведущие себя иначе, — исключение, получено математиками лишь недавно. Но сам характер явления был открыт ЯБ пятьдесят лет назад, и универсальность его была ему, конечно, ясна.

Такая же универсальность и независимость…крупномасштабной структуры Вселенной малыми и плавными неоднородностями первоначального поля скоростей пылевидной среды.

Возникновение особенностей на каустиках впервые обнаружили в этой задаче Е. М. Лифшиц, И. М. Халатников и В. В. Судаков. Построенная Яковом Борисовичем «теория блинов», в сущности, эквивалентна теории простейших, так называемых лагранжевых, особенностей в симплектической геометрии — особенностей проекций лагранжевых многообразий (на которых обращается в нуль инвариант Пуанкаре) из фазового пространства на конфигурационное.

Эта же теория даёт описание типичных особенностей каустик и их перестроек при изменении параметра в оптике. Её математические трудности так велики, что многие вопросы остаются до сих пор нерешёнными, а достигнутые (уже в последние годы) результаты были получены лишь вследствие осмысления ряда экспериментов лазерной оптики и компьютерного моделирования. Тем больше заслуга ЯБ, сразу почувствовавшего важность своей «гидродинамики Вселенной» как общематематической теории.

Переход от локально-аналитического исследования к анализу глобально топологических и статистически-перколяционных свойств возникающих структур в работах ЯБ также не может не вызвать восхищения математиков. В этих работах, скорее, физика становится служанкой математики, чем наоборот.

Подобно всем математикам, ЯБ любил выделить в физической проблеме точно сформулированный математический вопрос. Он верил, что стоит точно сформулировать задачу математически — и математики, «которые умеют, как мухи, ходить по потолку», найдут решение! Особенное возмущение вызывала у него неспособность современной математики решить вопросы о вмороженном магнитном поле минимальной энергии и о быстром магнитном динамо…. на семинаре ЯБ в ИПМ (вероятно, в 1973 г.): ЯБ и А. Д. Сахаров наперебой, размахивая руками, объясняли, как зацепленность силовых линий не позволяет уменьшить до нуля энергию вмороженного поля.

Математически вопрос ЯБ ставится так: среди всех полей дивергенции нуль на трёхмерном многообразии, получаемых из данного сохраняющими элементы объёма диффеоморфизмами многообразия, найти поле с минимальным интегралом квадрата (это минимизирующее поле может иметь особенности).

Эта задача, не решённая и сегодня, моделирует вопрос об эволюции магнитного поля звезды в пренебрежении магнитной вязкостью (омической диссипацией или перезамыканием силовых линий). Предполагается, что пока энергия не минимальна, поле будет порождать силу Лоренца, которая будет двигать среду, вследствие чего избыток энергии будет диссипироваться гидродинамической вязкостью, пока среда не остановится, а поле не минимизируется.

ЯБ и АД утверждали, что, например, энергию аксиально симметричного поля в шаре (зацепление отсутствует) можно сделать сколь угодно малой посредством подходящего диффеоморфизма (это, кажется, и сегодня аккуратно не доказано). Вопрос о топологии минимизирующего поля в общем случае — также нерешённая, насколько я знаю, задача (даже в простейшей двумерной модели, где требуется минимизировать интеграл квадрата градиента гладкой функции в круге, имеющей более одного максимума и равной нулю на границе, посредством сохраняющего элементы площади преобразования круга в себя).

Другая точно поставленная ЯБ задача о быстром стационарном кинематическом динамо формулируется так: существует ли бездивергентное, стационарное по времени и периодическое по пространству векторное поле скоростей v, для которого уравнение индукции

B

t

 + {vB} = ε ΔB,       div B = 0,

 

где {vB} = rot (v × B) — скобка Пуассона, имеет растущее по времени, периодическое по пространству решение В = eλt B0(xyz) с инкрементом(Re λ > 0), не стремящимся к нулю при уменьшении до нуля магнитной вязкости ε?

Растяжение магнитных линий потоком с экспоненциальным растяжением частиц приводит к экспоненциальному росту поля (ЯБ наглядно объяснял этот эффект так: окрестность замкнутой магнитной линии растягивается вдвое и вкладывается на своё место, подобно аптечной резинке).

Но при этом растущее поле получается изрезанным, и вязкий член может загасить начавшийся рост. Вопрос о том, какой из этих двух эффектов — растяжение частиц (вызывающее хаотичность поля скоростей) или малая диффузия — победит, в конечном итоге остаётся открытым.

Численные эксперименты с «ABC-полем» Бельтрами,

v = (A cos y + B sin z)

x

+ (циклические перестановки),

 

указывают, например, при A=B=C=1, на динамо-эффект (Re λ > 0) при магнитном числе Рейнольдса 1/ε в интервалах от 10 до 20 и от 30 до 100 (Фриш, Галловей). Для чисел Рейнольдса от 50 до 100 инкремент мало меняется и близок к (эмпирическому) показателю растяжения частиц потоком. Почему-то ЯБ склонялся к гипотезе, что при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса (до 400?) динамо-эффект прекратится (мода начнёт затухать), чтобы, быть может, в дальнейшем снова возникать и исчезать.

Теория этих явлений не разработана, а численный эксперимент требует вычисления собственных чисел матриц, порядок которых много больше миллиона, и пока кажется практически неосуществимым.

ЯБ считал здесь надёжно установленным существование периодического по времени быстрого кинематического магнитного динамо (v —периодическое по времени и по пространству бездивергентное поле скоростей, B — также периодическое по пространству). Насколько я знаю, эта теорема ЯБ современной математикой ещё не переварена.

В последнее десятилетие жизни ЯБ … размер писем ЯБ — восемь страниц, по письму в неделю… психотерапевтическим актом, способом проверить себя, уяснить что-то до конца. Я пишу — и вижу Ваш скептический взгляд («глаза майора Пронина»), и рука не поворачивается написать сомнительное… Много ли Вам пишут психи? Мне — очень часто.

Итак, то, что мы знаем относительно особенностей, это верно, но это — локально. Между тем есть некоторые глобальные свойства системы, которые…»

«Кажется, Дубровский писал Маше Троекуровой: «Сладкая привычка обращаться к Вам ежедневно, не ожидая ответа на письмо, стала для меня законом» (в период, когда они общались через дупло).

…комментирование «трудов» ЯБ. «Пишу, — позвонил мне ЯБ — некрологическое сочинение. Грустно, конечно, но нужно, по-моему. Как сказал О. Уайльд, «у каждого есть ученики, но биографию непременно пишет Иуда». Пожалуйста, напишите о математике».

Перечитав тогда «Высшую математику для начинающих», я увидел, как много из того, что математики моего поколения (с трудом и преодолевая огромное сопротивление) пытаются внести в выхолощенное и омертвевшее преподавание нашей науки, уже содержалось в первом же издании учебника ЯБ.

Книга начиналась с эпатирующего определения производной как отношения приращений «в предположении, что они достаточно малы». … 10–100, являются чистейшей фикцией — структура пространства и времени в таких масштабах может оказаться весьма далёкой от математического континуума.

Но это простое соображение уничтожает столь значительную часть современных математических исследований, что упоминать о нём даже здесь опасно. Тогдашние цензоры математических книг, тополог Л. С. Понтрягин и механик Л. И. Седов, обрушили на ЯБ поток обвинений, которые ЯБ (с его несколько мальчишеским честолюбием) переживал …борьба с этими, непонятно почему столь могущественными цензорами и со сплочённой группой их малокомпетентных союзников за переиздание очевидно необходимой книги, борьба, которую ЯБ вёл, как всегда, с полным напряжением сил и перипетии которой он переживал очень эмоционально, сократила ему жизнь… Л. С. Понтрягин в своём изложении анализа для школьников (1980) пишет: «Многие физики считают, что так называемое строгое определение производных и интегралов не нужно для хорошего понимания дифференциального и интегрального исчисления. Я разделяю их точку зрения».

Возвращение преподавания математики от схоластики формально-языковых вычислительных упражнений (будь то ∂k/∂nk — язык Лейбница, ε-δ — язык теории множеств, Ext-Tor — язык гомологической алгебры или IF-GOTO — язык программирования) к содержательной математике идей и понятий Ньютона, Римана и Пуанкаре — шаг абсолютно необходимый. ЯБ был первым, кто нашёл мужество открыто об этом сказать и вовремя это осуществить.

Время ЯБ было расписано по минутам. Плутарх пишет, что Фемистокл назначал всем своим клиентам одно и то же время, чтобы каждый из них, увидев остальных и ожидая своей очереди, проникался ощущением значительности патрона. Яков Борисович, напротив, назначал каждому своё время, но зато не мог затянуть разговор ни на одну лишнюю минуту. Привыкши к унижающим человеческое достоинство манерам, обычным среди математиков, особенно по отношению к младшим4, я был приятно удивлён корректностью и своеобразной деликатностью ЯБ, явно противоречившей его естественному буйному темпераменту. «Ты, Зин, на грубость нарываешься», — было у него выражением крайнего гнева. ЯБ, хоть и называл себя учеником Ландау, следовал ему не во всём… в «Science Citation Index» и нашёл, помнится, около семи тысяч ссылок на его работы в год (второе, кажется, место после Ландау). … влияние ЯБ и на физику, и на математику остаётся совершенно исключительным.

Примечания

1. В современных терминах такое уравнение — это SL(2)-связность над окружностью. назад к тексту
2. «Придётся вызвать Вас на дуэль», — сказал мне ЯБ, когда я процитировал ему Ньютона: «Математики, которые всё открывают, исследуют и доказывают, должны довольствоваться ролью сухих вычислителей и чернорабочих; другой [физик. — В.А.], который не может ничего доказать, но всё схватывает на лету и на всё претендует, уносит всю славу как своих предшественников, так и своих последователей». назад к тексту
3. Связь этого предмета с аномалиями квантовой теории поля и многозначным действием Полякова в то время не была, конечно, известна; эта связь была указана С. П. Новиковым лишь через десять лет. назад к тексту
4. Я приписывал эти манеры влиянию на математиков Л. Д. Ландау, пока не узнал, что не имеющий с Ландау ничего общего академик — председатель учёного совета математиков, переврав фамилию оппонента во время защиты диссертации, оправдывался со словами: «Ну ничего, не велика птица». назад к тексту

У. Фpиш ТУРБУЛЕHТHОСТЬ  Hаследие А. H. Колмогоpова Пеpев. с англ. под pед. М.Л.Бланка
М.: ФАЗИС, 1998. 360 с.  
Современное изложение теории … в исторической перспективе, с да Винчи и полвека со времени попытки А.Н.Колмогорова предсказать свойства течения при очень больших числах Рейнольдса. — развитая турбулентность повсеместно встречается в космосе и на Земле, в технических устройствах и в повседневной жизни.
В начале книги обсуждается, зачем необходимо вероятностное описание системы, по своей сути детерминированной. Теория Колмогорова 1941 года излагается по-новому, с акцентом на симметриях, которые разрушаются механизмами, создающими турбулентность, и восстанавливаются хаотической природой каскада на малых масштабах. …перемежаемости-неравномерности поведения на малых масштабах, для описания которой строились фрактальные и … Б.Мандельбротом, находят приложение и во многих других областях (ограниченная диффузией агрегация, геофизика твердых пород, аттракторы динамических систем и др.). Последняя глава «Что читать дальше» содержит введение в аналитическую теорию в духе Р.Крайчнана, в современную теорию вихревого переноса и ренормализации, обзор новых достижений статистической теории двумерной турбулентности. Элементарное изложение идей теории динамических систем, вероятностных методов (включая теорию больших уклонений) и фрактальной геометрии делает монографию замкнутой